Por que quando se aplica a integral a fórmula V=∫r -r π y^2 dx Substituindo em y=sqrt r^2- x^2 V=π [r^2 x - x^3/3] r -r V=π [ (3.r^3- r^3/3) - (-3.r^3 + r^3/3) Minha dúvida é por quê o 3 aparece multiplicando como se fosse derivar? Então subtraria uma unidade do expoente não?

O elemento de volume a ser integrado é um disco cilíndrico, de raio da base y e altura dx, cujo valor é dV = πy²dx. Como r² = x² + y², sendo r fixo e x a variável de integração, é preciso expressar y em função de x, o que dá y² = r² - x². Então o elemento de volume fica dV = π(r² - x²)dx. Portanto o volume será a integral disso entre os limites x = -r e x = r.