Do que se trata o teorema da imcompletude de Godel?

Os teoremas de incompletude de Gödel são teoremas lógicos que se referem a sistemas matemáticos, em particular, aritméticos, ou seja, numéricos, como é o caso dos números naturais, primos, inteiros, transfinitos, racionais, irracionais, reais, complexos, complexos hiperbólicos, hipercomplexos, quatérnios, quatérnios hiperbólicos, octônios, sedênios, vetores, tensores, matrizes etc. Esses conjuntos, munidos de operações, dependendo de suas propriedades, formam estruturas denominadas grupos, anéis, corpos, espaços vetoriais, etc. A respeito de tais estruturas e dos conjuntos numéricos associados são enunciadas proposições que, em conjunto, constituem a teoria aritmética a que obedece o sistema considerado.
A respeito disto, os teoremas de Gödel dizem que:
1º) Um conjunto completo de proposições sobre um sistema aritmético não consegue ser inteiramente consistente, ou seja, há pelo menos uma proposição que não pode ser confirmada nem negada pelo conjunto das demais.
2º) Não se consegue provar a consistência de um conjunto completo de proposições sobre um sistema aritmético a partir dele mesmo.
Isto foi sobejamente demonstrado por Gödel em 1931. Em 1963, Cohem desenvolveu um algoritmo de teste de proposições indecidíveis, isto é, que não se pode provar se são falsas ou verdadeiras.
Tal é o caso da "hipótese do contínuo" de Cantor, a respeito da cardinalidade dos números reais, que ele propôs que fosse igual à cardinalidade do conjunto dos subconjuntos dos números naturais. Cardinalidade é o número de elementos de um conjunto. Quando infinito, há um conjunto de possíveis cardinais, denominados transfinitos, dos quais o primeiro é o infinitos dos números naturais. Os números inteiros, pares, ímpares, primos e racionais têm a mesma cardinalidade dos naturais. O conjunto potência, isto é, o conjunto dos subconjuntos dos números naturais tem a segunda cardinalidade. O potência deste a terceira e assim por diante. A hipótese de Cantor é a de que os números irracionais, reais, complexos e hipercomplexos teriam a segunda cardinalidade, fato que ainda não conseguiu ser provado.
O segundo teorema não impede que a consistência de uma teoria possa ser provada de um ponto de vista exterior a ela, como é o caso dos axiomas de Peano que contróem os números naturais, cuja consistência é demonstrada pela teoria de Zermelo–Fraenkel dos conjuntos com o axioma de escolha.
Uma coisa importantíssima a se considerar é que os teoremas de incompletude só se aplicam a sistemas aritméticos e não geométricos ou topológicos, por exemplo. Nem tampouco a nenhuma lógica não matemática, como muitos consideram aplicável.
Certamente que se aplicam a processos computacionais, pois todos eles se baseiam em lógica aritmética, mesmo uma edição de texto que ora faço, pois o processador trabalha com portas aritméticas, que são máquinas que processam saídas a partir de entradas por combinações de adições, que é uma operação aritmética. Qualquer sistema computacional digital é aritmético, pois os dados sempre são convertidos em séries de dígitos binários, denominadas "palavras" que são engolidas pelo processador e nele convertidas em outras palavras, que, então, são expelidas. Toda a lógica computacional é, fundamentalmente, uma lógica aritimética e, portanto, governada pelos teoremas de incompletude. Mas a lógica humana, psíquica e social, não é aritmética, logo não está sujeita aos teoremas de incompletude.

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