Se eu jogar matéria (priodicamente) no Sol, logo, ele nunca vai perder massa, portanto ele nunca vai acabar?

Não é porque o Sol perde massa que ele, um dia, vai parar de funcionar e sim porque ele vai, gradativamente, transformar, por fusão nuclear, seu conteúdo de hidrogênio em hélio e, daí para a frente, nos elementos seguintes da tabela periódica, até o ferro. Chegando ao ferro, a fusão nuclear passa a ser endotérmica e não gera mais energia radiante, portanto ele não tem como conter a pressão da gravidade de suas camadas externas sobre as internas e vai se contrair com uma onda de choque que fará um ricochete e expulsará seu conteúdo mais externo para o espaço, deixando um núcleo remanescente que não gera mais energia e vai se esfriar lentamente até apagar. Isso é o que se chama uma estrela "anã branca". Quando ela esfriar passará a ser uma "anã marron" e, depois, uma "anã negra". Mas esse esfriamento dura bilhões de anos. As estrelas anãs não são gasosas e sim sólidas, numa estrutura cristalina. Se a massa do caroço remanescente for 1,44 (limite de Chandrasekhar) vezes a massa do Sol, a estrela se tornará uma estrela de nêutrons, que é um único núcleo atômico com a massa da estrela toda. Para caroços remanescentes de massa maior do que cerca de 2,7 massas solares (limite de Tolman-Oppenheimer-Volkoff), a estrela se transforma em um "buraco negro".