As chances de um estudante da escola pública se tornar PhD são as mesmas de um estudante de escola privada ?

Não, se você fizer uma estatística verá que a fração dos que fazem doutorado oriundos de escolas secundárias particulares (mas de universidades públicas), no Brasil, é maior do que a dos oriundos de escolar secundárias públicas (mas de faculdades particulares). Isso não significa que um particular aluno de escola secundária pública não seja capaz de chegar ao doutorado. Depende de cada um.