Grupo é um conjunto munido de uma operação fechada, isto é, uma função do produto cartesiano dele por si mesmo com imagem nele próprio, que possua as seguintes propriedades:
1. Ser fechada, isto é, a imagem estar no próprio conjunto.
2. Ter um elemento identidade, isto é, ao se operar qualquer elemento com a identidade, o resultado é o próprio elemento, o mesmo valendo com a operação da identidade com qualquer elemento.
3. Cada elemento ter um inverso, isto é, um que operado com aquele de que é inverso produza como resultado o elemento identidade. Isso tem que valer com a operação dos elementos comutados.
4. A operação ser associativa, isto é, o resultado da operação de dois elementos com um terceiro ser igual ao resultado da operação do primeiro com o resultado da operação dos dois últimos.
Se, além desses requisitos, também valer o fato da operação ser comutativa (para qualquer par de elementos), isto é a operação de um com outro der o mesmo resultado da operação do outro com o primeiro, então o grupo é denominado "Abeliano". Mas isso não é necessário para ser grupo.
Exemplo de grupos são os conjuntos numéricos dos inteiros, racionais, reais, complexos, quatérnios, bem como das matrizes quadradas (de certa ordem), tanto para as operações de adição e de multiplicação. Aliás, os inteiros não são um grupo para a multiplicação e os naturais nem para a adição. Os conjuntos numéricos são grupos abelianos mas as matrizes quadradas só o são para a adição e não para a multiplicação. O conjunto das translações e rotações espaciais de vetores também formam grupos, sendo o das translações abeliano e o das rotações não.
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