Ernesto, em todos os livros de física/matemática há a seguinte expressão: "Define-se". Fico muito incomodado com isso. i.g. pq o produto escalar de funções é uma integral? É possível estudar procurando a razão desses "defini-se", ou é uma coisa desnecessária?

Definição é apenas a construção de um novo conceito com base no que já está estabelecido. Portanto, é arbitrária e não possui demonstração. Todavia uma definição só permanece se possuir um valor utilitário na construção de alguma teoria e se corresponder a algo que se apresenta frequentemente, de modo que o novo conceito facilita a compreensão do fenômeno. Por exemplo, velocidade é definida como a razão entre o comprimento do percurso de algum móvel e o tempo em que ele o percorre. Poderia ter outra definição, como o logaritmo disso, mas seria mais complicada e menos útil. Ou poderia não ter sido definida mas, então, ficaria complicado colocar nas placas de trânsito: "Máxima razão do comprimento do percurso pelo tempo em percorrê-lo permitida de 80 km/h".