Ao calcular a aceleração centrípeta da Lua em seu giro em torno da Terra, Newton viu que era uma quatro mil vezes menor do que a de queda dos corpos na Terra. Ora, 4000 é o quadrado da razão da distância à Lua pelo raio da Terra. Ele conseguiu mostrar, matematicamente, que o efeito da atração da Terra sobre os corpos em sua superfície era como se toda a massa dela se concentrasse no centro. Então pode concluir que a Lua gira em torno da Terra porque está caindo para ela, mas não cai porque tem uma velocidade lateral que a faz entrar em órbita. E que essa força que provoca a queda varia com o inverso do quadrado da distância. Depois aplicou essa hipótese para os planetas que giram em torno do Sol e conferiu que suas acelerações centrípetas em relação ao Sol variam com o inverso do quadrado de suas distâncias ao Sol. Quanto à proporcionalidade com a massa, Como ele sabia que todos os corpos caem com a mesma aceleração (Galileu mostrou isso) e havia descoberto que a aceleração é diretamente proporcional à força e inversamente proporcional à massa, isso significa que a aceleração só pode ser constante se a força for proporcional à massa do que sofre a força. Quanto a ser proporcional à massa do que exerce, ele já havia mostrado que a toda ação corresponde uma reação de mesmo valor. Então todo corpo puxa a Terra para cima com uma força igual ao seu peso. Logo o peso tem que ser proporcional à massa da Terra também. Para contemplar essas três proporcionalidades, o peso tem que ser proporcional ao produto das massas dividido pelo quadrado da distância. Para achar a constante de proporcionalidade teria que se fazer uma medida e isso foi feito em uma experiência por Cavendish, que mediu a força de gravidade entre duas massas conhecidas, determinando o valor da constante da gravitação universal e, com isso, determinando a massa da Terra.
http://en.wikipedia.org/wiki/Cavendish_experiment
http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_universal_gravitation
http://www.ruckert.pro.br/blog/?page_id=151
http://www.ruckert.pro.br/blog/?p=1262
http://en.wikipedia.org/wiki/Orbital_motion
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