Em alguns livros de Álgebra Linear para provarmos que R³ é um espaço vetorial utilizamos vetores do tipo: u = (x,y,z). No entanto, essa notação de vetor só é permitida quando adotamos uma base, capítulo posterior ao de Espaço Vetorial. Não é um erro? 30/01/2016

Não é erro. Ao se considerar o conjunto das triplas de números reais como um espaço vetorial está se considerando o conceito abstrato de espaço vetorial e não o conceito geométrico de vetor. O que se estuda, então, é o comportamento dessas triplas sob a ação das operações definidas sobre elas. Que propriedades possuem e como o conjunto dessas propriedades estabelece uma estrutura matemática que se chama "espaço vetorial", independentemente de representar vetores geométricos. Depois, ao se estudar os vetores geométricos no espaço e sua representação por meio de triplas de números reais, se verifica que há um homomorfismo entre essas estruturas, ou seja, exibem as mesmas propriedades operacionais.