Então o buraco negro é o "caroço" em si, e não o fenômeno todo (caroço + encurvamento do espaço-tempo)?

Não. Buraco negro é toda a região interior ao horizonte de eventos, que contém o caroço em seu centro. O encurvamento existe, mesmo sem haver buraco negro, em torno de toda concentração de massa. A diferença é só que ele é mais intenso no caso do buraco negro, não só pela maior massa, mas pela menor distância. Todavia uma massa maior pode provocar uma curvatura igual a uma distância maior, sem ser um buraco negro. Outra diferença é o gradiente da curvatura, ou, se preferir, do campo gravitacional. Como ele varia com o inverso do cubo e não do quadrado da distância, ele se torna muito grande a pequenas distâncias, como é o caso que aparece nos buracos negros. É o gradiente que provoca a dilaceração dos objetos que se aproximem de um buraco negro.