Dizer que o espaço é plano é afirmar que ele se estende indefinidamente e, por isso, a geo euclidiana é aplicada?

Não só isso. O espaço pode se estender indefinidamente e não ser plano. Um espaço negativamente curvo se estende indefinidamente. Já um positivamente curvo não. A planicidade se prende à verificação de certas propriedades, como o fato da soma dos ângulos internos de um triângulo valer dois ângulos retos (nos espaços positivamente curvos vale mais e nos negativamente curvos vale menos). Essa medição é a forma com que se verifica que o Universo, em larga escala, é praticamente plano.