Como provar para um professor da universidade minha competência? Os professores nas universidades têm tempo para manter contato com os alunos e tirar suas dúvidas ou discutir questões relevantes?

Normalmente sim, exceto os pedantes. Nas universidades públicas, via de regra, os professores são contratados em tempo integral e dedicação exclusiva e possuem um gabinete em que ficam estudando, escrevendo, preparando aulas, corrigindo avaliações e atendendo a seus orientados e estudantes, quando não estão em seus laboratórios ou pesquisando em campo.