Professor, a álgebra por sí só, é apenas teórica e voltada para a utilização do raciocínio matemático e da memória operacional? Tem como aplicar a álgebra avançada sozinha em algo funcional?

De modo nenhum. A álgebra, do mesmo modo que a geometria, a trigonometria, a análise, a topologia e todos os ramos da matemática, além de serem teóricos (e o são bastante mesmo), possuem um imenso campo de aplicações práticas em quase todas as atividades e ramos de conhecimento. Aliás, grande parte dos assuntos abordados em matemática surgiram a partir de necessidades práticas de se solucionar problemas apresentados em outros ramos. Teoria de Grupos, por exemplo, que é um tópico de álgebra avançada, é de grande aplicação no estudo do estado sólido da matéria e na elaboração de dispositivos tecnológicos construídos com base nesse conhecimento.