Esse problema da área foi passado por meu antigo professor do ensino médio.Depois de entrar na faculdade e cursar cálculo consegui resolvê-lo por integrais,mas como me foi passado enquanto estava no EM eu suponho que haja uma solução por matemática elementar. Abraços

É trabalhoso. Veja a figura:
http://www.flickr.com/photos/ernestovon/11047245073/
Sejam:
A = área procurada;
Q = L² = área do quadrado;
S = πL²/4 = área do setor;
C = πL²/4 = área do círculo inscrito;
a = área de cada canto entre o quadrado e o círculo;
b = área assinalada no desenho;
c = área assinalada no desenho.
Por inspeção tem-se:
A = Q - S - a - 2b
Mas:
a = (Q - C)/4
a = b + c
Também se observa que:
S + A - C = a + 2c
então c = (S + A - C - a)/2, donde:
b = (S + A - C + a)/2
Levando na primeira expressão, tem-se:
A = Q - S - a - S - A + C - a, ou 2A = Q + C - 2S - 2a = Q + C - 2S - (Q - C)/2
ou, ainda:
2A = (2Q + 2C - 4S - Q + C)/2 = (Q + 3C - 4S)/2
Donde:
A = Q/4 + 3C/4 - S = L²/4 + 3πL²/16 - πL²/4 = (1 - π/4)L²/4