Não possuem. Inclusive minha tese de mestrado foi sobre isso. A presença de alguma massa para o fóton, mesmo que fosse menor do que as mais acuradas medidas conseguem detectar, provocaria consequências cosmológicas que não são detectadas, como um "eixo do Universo" e um spin total para o Universo. Isso não é verificado, o que mostra a ausência de massa do fóton. Leia este artigo:
http://www.sbfisica.org.br/bjp/download/v13/v13a62.pdf
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