Professor, sempre que eu tiver um problema de geometria sintética eu posso portá-lo para um plano e resolvê-lo usando geometria analítica?‎

Só se o problema for de geometria plana. Se for de geometria espacial, tem que ser projetado em três planos ortogonais para ser resolvido por geometria analítica. Mas pode ser resolvido espacialmente mesmo, pela geometria analítica vetorial.