A estrutura matemática da Mecânica Newtoniana é o vetor(força). A ferramenta é o Cálculo Vetorial, normalmente no Rn. Muda alguma coisa para as outras formulações da Mecânica Clássica? Coordenadas generalizadas, não sei do que se trata, mas eu sei que a energia, usada neste formalismo é um escalar

A mecânica newtoniana usa vetores e tensores em três dimensões e não num espaço de dimensões genéricas. A energia usada de deve a que a função lagrangiana é a diferença entre a energia cinética e a potencial de um sistema e a hamiltoniana é a soma. As equações de Euler-Lagrange e as equações de Hamilton são equações diferenciais parciais verificadas por essas funções. E elas devem ser expressas em termos das coordenadas generalizadas mais adequadas para a descrição do movimento do sistema. A vantagem do formalismo analítico é que ele pode ser estendido à Relatividade Especial, à Relatividade Geral é à Mecânica Quântica, em que os Parêntesis de Poisson são convertidos nos comutadores dos operadores. Inclusive a equação de Schrödinger é escrita em função do operador Hamiltoniano, que é uma extensão da função hamiltoniana quando se converte posição e momentum em seus operadores quânticos nas expressões para a energia cinética e potencial. O formalismo também permite a inclusão de sistemas dissipativos, para campos de escoamento de fluidos e para campos elétricos e magnéticos. Em verdade toda as teorias de campo são escritas em formalismo lagrangiano (ou hamiltoniano).