Ok, me formei em Engenharia, e aprendi somente a Mecânica de Newton. Sei que não é da área, mas em que situações um engenheiro se beneficiaria da formulação Lagrangeana ou Hamiltoniana ao modelar um sistema mecânico, visando, por exemplo, construir algum equipamento?

A engenharia se beneficia muito da formulação lagrangiana e hamiltoniana, especialmente a mecânica, em sistemas de alta complexidade. Há livros de dinâmica de mecanismos tratada sob a forma analítica e não vetorial. Também se aplica à mecânica de fluidos, especialmente nos casos em que se tenha campos elétricos e magnéticos e fenômenos térmicos envolvidos. Por exemplo, no projeto de bocais de foguetes, de turbinas e bombas de alto desempenho. De hélices de navios, pás de helicópteros, perfis de asas de aeronaves e, mesmo, mecanismos com cames, excêntricos. Até mesmo nos projetos de motores de combustão interna, seus virabrequins e coisas do tipo.