Newton desenvolveu o cálculo infinitesimal e integral? O integral foi para calcular cada camada ou fatia da Terra que exercia interação em um corpo sobre sua superfície. Essas camadas infinitesimais então somadas, as interações, daria a interação total desejada.

Sim. O cálculo infinitesimal abrange o cálculo diferencial e o cálculo integral. O que Newton pretendeu foi, justamente, isto: calcular a força gravitacional resultante de toda a massa da Terra sobre um corpo próximo dela. Para tal ele teria que pegar a expressão para a força de cada elemento de massa da Terra e achar essa resultante. Isso não é um problema fácil e requereu a execução de uma integral. Só que o cálculo integral ainda não existia e Newton teve que inventá-lo.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_das_cascas_esf%C3%A9ricas