Toda dilatação é volumétrica, pois um corpo ao se dilatar, o faz porque seus átomos se afastam uns dos outros, em razão do aumento da amplitude de sua vibração, devido ao aumento da temperatura (aliás, em verdade, a temperatura é que decorre da vibração dos átomo e não o que a provoca). O aumento da amplitude da vibração aumenta tanto a temperatura quanto o volume. Mas, em certos casos, só interessa saber o quanto aumenta uma superfície do corpo ou um comprimento do corpo. Então se pode calcular isso separadamente. Como o aumento de volume é proporcional em todas as direções, pode-se ver que as superfícies são proporcionais ao quadrado dos comprimentos e os volumes proporcionais ao cubo deles. Por outro lado, como os coeficientes de dilatação são números pequenos, se se desenvolver seus quadrados e cubos em séries de Taylor, obtemos:
S = L² = L0² (1 + αΔT)² = L0² (1 + 2αΔT + ...), em que desprezamos os termos quadráticos e de ordem superior em ΔT, uma vez que são desprezíveis.
V = L³ = L0³ (1 + αΔT)³ = L0³(1 + 3αΔT + ...), do mesmo modo.
Mas S = S0 (1 + βΔT) e V = V0 (1 + γΔT), de modo que, se pode identificar β = 2α e γ = 3α, uma vez que S0 = L0² e V0 = L0³.
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