Poderia explicar qual a aplicação da matemática no estudo da Filosofia (De preferência, dando alguns exemplos). E quais as outras ciências necessárias para o estudo da Filosofia?

Filosofia é como uma meta-ciência. Ela paira sobre todas elas, não só fornecendo critérios de validação dos conhecimentos, como também suprindo as conclusões que o método científico não é capaz de propiciar. Assim é preciso que o filósofo entende de todas as ciências. Não no detalhamento de um cientista de cada área, mas os princípios básicos delas. Isso é especialmente válido para a matemática, especialmente porque a matemática é, fundamentalmente, uma lógica. e lógica é o conteúdo que disciplina o pensamento. Como um filósofo é, essencialmente, um pensador, o que mais ele tem que saber é lógica, mesmo quando filosofa sobre outros temas. E matemática é o melhor treinamento para lógica que se tem. Mas não uma matemática aplicada e sim a matemática pura e teórica. Demonstrar teoremas em geometria, aritmética, álgebra, análise, topologia e todos os ramos da matemática é a melhor forma de afiar o raciocínio. Além disso, o domínio da matemática, bem como da física e da biologia (especialmente essas três, sem esquecer as demais ciências) é necessário para que o filósofo adquira uma compreensão do mundo em que se insere e impeça que ele devaneie por veredas completamente desconectadas da realidade. Quando for filosofar sobre o comportamento humano, especialmente o social, ele também tem que conhecer psicologia, sociologia, antropologia, economia, política, história, geografia, linguística, artes e os demais temas humanos. Por isso é que considero que a ocupação de filósofo é a mais exigente em termos de conhecimentos que se pode conceber. Muito mais do que a de um físico, um biólogo, um médico, um engenheiro, um empresário, um político, um militar ou o que quer que seja. Fico pasmo de ver como muitos cursos de filosofia por aí são tão rasteiros. Acho que o curso de filosofia, cursado em dedicação exclusiva, teria que ter uma duração de seis anos, pelo menos. Pessoas de parcos conhecimentos e pequena inteligência não são capazes de se dizerem filósofos. Filósofo, físico e biólogo é atividade só para quem for bem inteligente mesmo. Não tem escapatória.