Professor, a lei de coulomb não tem nenhuma dedução matemática? A única que achei foi juntamente com a de Gauss, que uma chega na outra. Mas ela não tem nem nenhuma outra forma de você deduzir a partir de outras coisas?

Não. Trata-se de uma lei empírica, que descreve um comportamento da natureza. As leis, na Física, são como os postulados na Matemática. Não são deduzidos de nada. São induzidas. A chamada "Lei de Gauss" é, apenas, uma outra forma de expressar a Lei de Coulomb. Como a Lei da Gravitação Universal e as três Leis do Movimento, de Newton. No caso destas, pode-se invocar o "Princípio da Ação Mínima", do qual elas podem ser deduzidas. Mas esse princípio, em verdade, tem a sua validade estabelecida pela validade das leis que dele decorrem.