o que é um extremo do cálculo variacional. o que eu não entendi é que se obtem como uma integral um valor mínimo ou máximo, mas não teria que derivar para saber?

Para se obter um extremo de um funcional, em cálculo variacional, se acha a derivada sim. Mas a derivada variacional, que é obtida por meio de um procedimento especial. Funcional não é uma função e sim uma aplicação em que o domínio não é um conjunto numérico e sim o conjunto das funções e o contradomínio é um conjunto numérico. Vou publicar minhas notas de aula sobre Cálculo Variacional e colocarei o link aqui no Ask.