Mas se a ''reta'' for uma parábola que partisse do zero, ela assinalaria todos os pontos do contradomínio??? (claro, não seria uma função!)

Uma parábola, com o eixo de simetria paralelo ao eixo das ordenadas é uma função sim. Mas não injetora e nem sobrejetora, ou seja, há mais de um valor de abcissa para cada valor de ordenada (exceto para o vértice) e o conjunto imagem não é todo o contradomínio. Isso não depende de onde esteja o seu vértice. Mas uma parábola com o eixo de simetria inclinado em relação ao eixo das ordenadas não é uma função. Ou com o eixo de simetria paralelo ao eixo das abcissas.