o decaimento aleatório não seguiria um princípio físico governante que faz com que um átomo de urânio se transforme, eventualmente, em chumbo?

Sim. O princípio é o de que, núcleos instáveis, em razão do desbalanço entre as interações nuclear forte, nuclear fraca e elétrica entre os núcleons, estão propensos a decair radioativamente, até que cheguem a uma situação nuclear de estabilidade (em que a probabilidade de decaimento é quase nula). Isso não significa que a instabilidade seja a "causa" do decaimento e que este seja um evento efeito. A instabilidade é a "condição" do decaimento. Mas um núcleo instável não decai, necessariamente. Pode não decair ou decair, fortuitamente, ao fim de um tempo inteiramente aleatório. A informação que se tem é de uma estatística de tempos de decaimento, ou seja, de que frações de amostras de núcleos de certo tipo decaem ao fim de certo tempo. Daí o conceito de "meia vida", como sendo o tempo em que, estatisticamente, metade de uma população daqueles núcleos terá decaído.