Professor, moral e ética têm definições, ou são conceituadas? Na internet, encontro diferentes descrições do que são, às vezes, até antagônicas.

Não são definições e sim conceitos, pois definições são precisas. De fato, os conceitos de moral e ética são controversos, havendo diferentes concepções deles.
Eu adoto a que exponho nesses artigos:
http://www.ruckert.pro.br/blog/?p=3288
http://wolfedler.blogspot.com.br/2010/10/qual-diferenca-entre-etica-e-moral.html
http://wolfedler.blogspot.com.br/2011/12/poderia-me-dar-um-exemplo-bem-simples.html
http://wolfedler.blogspot.com.br/2013/04/o-que-significa-moral-o-que-e-valores.html
http://wolfedler.blogspot.com.br/2012/10/a-moral-e-objetiva-se-e-podemos.html
Veja, também, o que desenvolvo nesses artigos:
http://www.ruckert.pro.br/blog/index.php?s=%C3%A9tica+moral
http://wolfedler.blogspot.com.br/search?q=%C3%A9tica+moral