Professor, o que significa dizer que um objeto (vetor, tensor, etc) é covariante e contravariante sob uma dada transformação?

Um tensor ( e um vetor é um tensor de primeira ordem) é dito covariante se suas componentes se transformam, numa mudança de referencial ou de sistema de coordenadas da mesma forma que os vetores unitários dos eixos desses referenciais ou sistemas de coordenadas. Em notação de componentes, isso é indicado pela colocação superior dos índices. A contravariancia significa que a componente do tensor se transforma de acordo com a transformação inversa dos vetores unitários dos eixos do referencial ou do sistema de coordenadas. Em notação de componentes, isso é indicado pela colocação inferior dos índices. Normalmente as componentes de um vetor são contravariantes, uma vez que os unitários de base são, por definição, covariantes. Todavia, para cada base de vetores unitários se pode construir uma "base dual" contravariante. Nessa base as componentes de um vetor serão covariantes.