Para verificar se um espaço vetorial é de fato um espaço vetorial, eu tenho que testar os oito axiomas ou por tabela, posso apenas fazer as operações de soma de vetores e do produto por escalar sem usar os demais axiomas?‎

É preciso testar, pois nem tudo que parece vetor e pode ser somado é um vetor. Por exemplo, as rotações podem ser representadas por algo do tipo de um vetor, com direção ao longo do eixo de rotação, com módulo igual ao ângulo de rotação e com sentido dado pela "regra da mão direita", ou do "parafuso de rosca direita". No entanto, tal objeto não é um vetor, pois não obedece à propriedade comutativa da soma. É chamado de um "pseudo vetor" ou um "vetor axial".