Mas por qual motivo eu posso fazer somente a operação de soma de vetores e de produto por escalar para atestar se um subespaço vetorial é de fato um subespaço vetorial sem precisar atestar os demais axiomas?‎

Porque sendo um subespaço, automaticamente atenderá as propriedades do espaço. Só o que precisa ser testado é o fechamento, isto é, se qualquer resultado de operações com elementos do subespaço leva a um elemento também pertencente a ele.