como se chama, em matemática, o que a função tangente apresenta no fato de ser indefinida em pi/2 radianos e para valores maiores de ângulo ela voltar a ter uma "progressão" sem indefinições? Seriam os "furos" da função?

Os pontos correspondentes ao argumento pi/2, 3pi/2 e, em geral (2n+1)pi/2 são pontos de descontinuidades infinitas da função tangente. Neles ela não é definida. Ou seja, seu domínio são os números reais menos esses valores. Nos demais ela é definida univocamente, contínua e derivável até qualquer ordem.