Existe alguma *boa* explicação para a notação f^(-1) usada para a inversa de uma função? Ou é apenas o que parece: um mau trocadilho com o inverso de um número, e que acabou "pegando"?

Realmente é um mau trocadilho, pois não tem nada a ver. Inclusive faz muita confusão. Por exemplo, a se adotar essa notação, sen²(x) deveria ser sen(sen(x)) mas significa (sen(x))², o que é totalmente diferente.Uma notação consistente seria usar inv(f(x)) para a função inversa e f^(-1)(x) para (f(x))^(-1).

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