A matemática existe objetivamente fora de nossas mentes

Não. Ela é um construto mental. Que é suscitado pela observação do comportamento da realidade do mundo. Mas se trata de uma abstração. E, inclusive, pode, perfeitamente, ser concernente ao que, absolutamente, não tenha nada a ver com a realidade do mundo. O que acontece é que, em geral, aquilo que, na Matemática, não tem a menor aplicação sobre a realidade do mundo, como a geometria de Lobatchewski, acaba sendo apenas uma curiosidade sem grande desenvolvimento. Todavia, há casos em que, a princípio, o assunto não possuía aplicação detectável mas, depois, ela foi encontrada, como a geometria de Riemann.