Eu não abrevio EDO, é pq o espaço da pergunta é limitado. Tento abreviar o máximo de palavras pra expor melhor. Sobre o artigo, não precisa ser nada inédito? Pois ele quer uma aplicação.

Uma ótima aplicação das equações diferenciais ordinárias é o estudo das oscilações livres, amortecidas e forçadas. Você acha isso em qualquer livro de mecânica clássica vetorial (não nos livros de física geral). Ou então o estudos dos circuitos elétricos que envolvam resistência, capacitância e indutância. Outra sugestão é a solução do problema gravitacional de dois corpos, que mostra que as órbitas são seções cônicas. No caso é preciso se trabalhar com coordenadas polares. Um bom livro que trata disso é o de mecânica do Symon. Outra aplicação já é em física quântica, não só na solução dos orbitais do átomo de hidrogênio, mas também nos problemas de espalhamento, como a experiência de Rutherford. O átomo de hidrogênio é meio avançado, porque lida com equações diferenciais ordinárias lineares com coeficientes não constantes, o que leva ao método de Frobenius e às funções especiais (polinômios de Laplace e polinômios de Laguerre).