por que existe a mecanica de hamilton e lagrange? o que muda delas em relaçao a mecanica classica?

Tanto a mecânica newtoniana, quanto a lagrangiana e a hamiltoniana são clássicas. A primeira trabalha com os conceitos vetoriais de força e aceleração. A segunda com os conceitos escalares de velocidade escalar e energia potencial e a terceira com os conceitos escalares também (porque referente às componentes) de posição e momentum. No fundo dizem o mesmo, só que com o uso de conceitos diferentes. A hamiltoniana é a melhor para se proceder à quantização do fenômeno, porque tem uma correspondência com os comutadores dos operadores da mecânica quântica. Nos casos clássicos de sistemas bem complexos, mesmo em engenharia, a lagrangiana oferece um método mais objetivo de solução.