Professor, qual a justificativa para a validade dessa igualdade: tg x = cossec x ? Ou seja, por que isso é possível?

Isso não é uma identidade, isto é, não é válida para qualquer valor de x. Mas pode haver algum para o qual seja válida, isto é, trata-se de uma equação. No caso esse valor existe e vale acos((sqrt(5)-1)/2) ou -acos((sqrt(5)-1)/2). Pode testar. Resolvi por meio de dois programas de computação algébrica, o WMaxima e o XCas.