Existe um padrão relativo ao quadrante em que ocorre a alteração das soluções de uma função correspondente ao sinal associado aos coeficientes?

Não. Os valores tomados por uma função (considerada função real de número real) serão positivos ou negativos para argumentos positivos ou negativos em razão da forma matemática da função e do conjunto de todos os coeficientes de todos os termos. Não há padrão nenhum. Pontos (pares de valores (x, f(x))) podem existir em qualquer dos quadrantes.