Existe algum algoritmo para se encontrar padrões? De tal forma que fosse possível programar um computador para resolver problemas desse tipo, como por exemplo achar o n-ésimo termo de uma dada sequência?‎

Claro. Isso é muito comum e já existem rotinas prontas nas diversas linguagens de programação para isso, como C++ ou Delphi. Até mesmo planilhas e bancos de dados, como o Excel e o Access contam com essas rotinas em fórmulas ou macros. É só consultar a ajuda, ou, se for o caso, a ajuda do Visual Basic, que está incluído no Excel e no Access.